Одно из важнейших понятий механики – работа силы .

Работа силы

Все физические тела в окружающем нас мире приводятся в движение с помощью силы. Если на движущееся тело в попутном или противоположном направлении действует сила или несколько сил со стороны одного или нескольких тел, то говорят, что совершается работа .

То есть, механическая работу совершает действующая на тело сила. Так, сила тяги электровоза приводит в движение весь поезд, тем самым совершая механическую работу. Велосипед приводится в движение мускульной силой ног велосипедиста. Следовательно, эта сила также совершает механическую работу.

В физике работой силы называют физическую величину, равную произведению модуля силы, модуля перемещения точки приложения силы и косинуса угла между векторами силы и перемещения.

A = F · s · cos (F, s) ,

где F модульсилы,

s – модуль перемещения.

Работа совершается всегда, если угол между ветрами силы и перемещения не равен нулю. Если сила действует в направлении, противоположном направлению движения, величина работы имеет отрицательное значение.

Работа не совершается, если на тело не действуют силы, или если угол между приложенной силой и направлением движения равен 90 о (cos 90 o = 0).

Если лошадь тянет телегу, то мускульная сила лошади, или сила тяги, направленная по ходу движения телеги, совершает работу. А сила тяжести, с которой извозчик давит на телегу, работы не совершает, так как она направлена вниз, перпендикулярно направлению перемещения.

Работа силы – величина скалярная.

Единица работы в системе измерений СИ - джоуль. 1 джоуль – это работа, которую совершает сила величиной в 1 ньютон на расстоянии 1 м, если направления силы и перемещения совпадают.

Если на тело или материальную точку действуют несколько сил, то говорят о работе, совершаемой их равнодействующей силой.

В случае, если приложенная сила непостоянна, то её работа вычисляется как интеграл:

Мощность

Сила, приводящая в движение тело, совершает механическую работу. Но как совершается эта работа, быстро или медленно, иногда очень важно знать на практике. Ведь одна и та же работа может быть совершена за разное время. Работу, которую выполняет большой электромотор, может выполнить и маленький моторчик. Но ему для этого понадобится гораздо больше времени.

В механике существует величина, характеризующая быстроту выполнения работы. Эта величина называется мощностью .

Мощность – это отношение работы, выполненной за определённый промежуток времени, к величине этого промежутка.

N = A /∆ t

По определению А = F · s · cos α , а s/∆ t = v , следовательно

N = F · v · cos α = F · v ,

где F – сила, v скорость, α – угол между направлением силы и направление скорости.

То есть мощность – это скалярное произведение вектора силы на вектор скорости движения тела .

В международной системе СИ мощность измеряется в ваттах (Вт).

Мощность в 1 ватт – это работа в 1 джоуль (Дж), совершаемая за 1 секунду (с).

Мощность можно увеличить, если увеличить силу, совершающую работу, или скорость, с которой эта работа совершается.

С механической работой (работой силы) вы уже знакомы из курса физики основной школы. Напомним приведенное там определение механической работы для следующих случаев.

Если сила направлена так же, как перемещение тела, то работа силы

В этом случае работа силы положительна.

Если сила направлена противоположно перемещению тела, то работа силы

В этом случае работа силы отрицательна.

Если сила f_vec направлена перпендикулярно перемещению s_vec тела, то работа силы равна нулю:

Работа – скалярная величина. Единицу работы называют джоуль (обозначают: Дж) в честь английского ученого Джеймса Джоуля, сыгравшего важную роль в открытии закона сохранения энергии. Из формулы (1) следует:

1 Дж = 1 Н * м.

1. Брусок массой 0,5 кг переместили по столу на 2 м, прикладывая к нему силу упругости, равную 4 Н (рис. 28.1). Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. Чему равна работа действующей на брусок:
а) силы тяжести m?
б) силы нормальной реакции ?
в) силы упругости ?
г) силы трения скольжения тр?

Суммарную работу нескольких сил, действующих на тело, можно найти двумя способами:
1. Найти работу каждой силы и сложить эти работы с учетом знаков.
2. Найти равнодействующую всех приложенных к телу сил и вычислить работу равнодействующей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Чтобы убедиться в этом, вернитесь к предыдущему заданию и ответьте на вопросы задания 2.

2. Чему равна:
а) сумма работ всех действующих на брусок сил?
б) равнодействующая всех действующих на брусок сил?
в) работа равнодействующей? В общем случае (когда сила f_vec направлена под произвольным углом к перемещению s_vec) определение работы силы таково.

Работа A постоянной силы равна произведению модуля силы F на модуль перемещения s и на косинус угла α между направлением силы и направлением перемещения:

A = Fs cos α (4)

3. Покажите, что из общего определения работы следуют к выводы, показанные на следующей схеме. Сформулируйте их словесно и запишите в тетрадь.

4. К находящемуся на столе бруску приложена сила, модуль которой 10 Н. Чему равен угол между этой силой и перемещением бруска, если при перемещении бруска по столу на 60 см эта сила совершила работу: а) 3 Дж; б) –3 Дж; в) –3 Дж; г) –6 Дж? Сделайте пояснительные чертежи.

2. Работа силы тяжести

Пусть тело массой m движется вертикально от начальной высоты h н до конечной высоты h к.

Если тело движется вниз (h н > h к, рис. 28.2, а), направление перемещения совпадает с направлением силы тяжести, поэтому работа силы тяжести положительна. Если же тело движется вверх (h н < h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

В обоих случаях работа силы тяжести

A = mg(h н – h к). (5)

Найдем теперь работу силы тяжести при движении под углом к вертикали.

5. Небольшой брусок массой m соскользнул вдоль наклонной плоскости длиной s и высотой h (рис. 28.3). Наклонная плоскость составляет угол α с вертикалью.

а) Чему равен угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения бруска? Сделайте пояснительный чертеж.
б) Выразите работу силы тяжести через m, g, s, α.
в) Выразите s через h и α.
г) Выразите работу силы тяжести через m, g, h.
д) Чему равна работа силы тяжести при движении бруска вдоль всей этой же плоскости вверх?

Выполнив это задание, вы убедились, что работа силы тяжести выражается формулой (5) и тогда, когда тело движется под углом к вертикали – как вниз, так и вверх.

Но тогда формула (5) для работы силы тяжести справедлива при движении тела по любой траектории, потому что любую траекторию (рис. 28.4, а) можно представить как совокупность малых «наклонных плоскостей» (рис. 28.4, б).

Таким образом,
работа силы тяжести при движении но любой траектории выражается формулой

A т = mg(h н – h к),

где h н – начальная высота тела, h к – его конечная высота.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Например, работа силы тяжести при перемещении тела из точки A в точку B (рис. 28.5) по траектории 1, 2 или 3 одинакова. Отсюда, в частности, следует, что рибота силы тяжести при перемещении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в исходную точку) равна нулю.

6. Шар массой m, висящий на нити длиной l, отклонили на 90º, держа нить натянутой, и отпустили без толчка.
а) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия (рис. 28.6)?
б) Чему равна работа силы упругости нити за то же время?
в) Чему равна работа равнодействующей сил, приложенных к шару, за то же время?

3. Работа силы упругости

Когда пружина возвращается в недеформированное состояние, сила упругости совершает всегда положительную работу: ее направление совпадает с направлением перемещения (рис. 28.7).

Найдем работу силы упругости .
Модуль этой силы связан с модулем деформации x соотношением (см. § 15)

Работу такой силы можно найти графически.

Заметим сначала, что работа постоянной силы численно равна площади прямоугольника под графиком зависимости силы от перемещения (рис. 28.8).

На рисунке 28.9 изображен график зависимости F(x) для силы упругости. Разобьем мысленно все перемещение тела на столь малые промежутки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной.

Тогда работа на каждом из этих промежутков численно равна площади фигуры под соответствующим участком графика. Вся же работа равна сумме работ на этих участках.

Следовательно, и в этом случае работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости F(x).

7. Используя рисунок 28.10, докажите, что

работа силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние выражается формулой

A = (kx 2)/2. (7)

8. Используя график на рисунке 28.11, докажите, что при изменении деформации пружины от x н до x к работа силы упругости выражается формулой

Из формулы (8) мы видим, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины, Поэтому если тело сначала деформируют, а потом оно возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости равна нулю. Напомним, что таким же свойством обладает и работа силы тяжести.

9. В начальный момент растяжение пружины жесткостью 400 Н/м равно 3 см. Пружину растянули еще на 2 см.
а) Чему равна конечная деформация пружины?
б) Чему равна работа силы упругости пружины?

10. В начальный момент пружина жесткостью 200 Н/м растянута на 2 см, а в конечный момент она сжата на 1 см. Чему равна работа силы упругости пружины?

4. Работа силы трения

Пусть тело скользит по неподвижной опоре. Действующая на тело сила трения скольжения направлена всегда противоположно перемещению и, следовательно, работа силы трения скольжения отрицательно при любом направлении перемещения (рис. 28.12).

Поэтому если сдвинуть брусок вправо, а пегом на такое же расстояние влево, то, хотя он и вернется в начальное положение, суммарная работа силы трения скольжения не будет равна нулю. В этом состоит важнейшее отличие работы силы трения скольжения от работы силы тяжести и силы упругости. Напомним, что работа этих сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю.

11. Брусок массой 1 кг передвигали по столу так, что его траекторией оказался квадрат со стороной 50 см.
а) Вернулся ли брусок в начальную точку?
б) Чему равна суммарная работа действовавшей на брусок силы трения? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.

5. Мощность

Часто важна не только совершаемая работа, но и скорость совершения работы. Она характеризуется мощностью.

Мощностью P называют отношение совершенной работы A к промежутку времени t, за который эта работа совершена:

(Иногда мощность в механике обозначают буквой N, а в электродинамике – буквой P. Мы считаем более удобным одинаковое обозначение мощности.)

Единица мощности – ватт (обозначают: Вт), названная в честь английского изобретателя Джеймса Уатта. Из формулы (9) следует, что

1 Вт = 1 Дж/c.

12. Какую мощность развивает человек, равномерно поднимая ведро воды массой 10 кг на высоту 1 м в течение 2 с?

Часто мощность удобно выражать не через работу и время, а через силу и скорость.

Рассмотрим случай, когда сила направлена вдоль перемещения. Тогда работа силы A = Fs. Подставляя это выражение в формулу (9) для мощности, получаем:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)

13. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. При этом его двигатель развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению автомобиля?

Подсказка. Когда автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, сила тяги равна по модулю силе сопротивления движению автомобиля.

14. Сколько времени потребуется для равномерного подъема бетонного блока массой 4 т на высоту 30 м, если мощность двигателя подъемного крана 20 кВт, а КПД электродвигателя подъемного крана равен 75%?

Подсказка. КПД электродвигателя равен отношению работы по подъему груза к работе двигателя.

Дополнительные вопросы и задания

15. Мяч массой 200 г бросили с балкона высотой 10 и под углом 45º к горизонту. Достигнув в полете максимальной высоты 15 м, мяч упал на землю.
а) Чему равна работа силы тяжести при подъеме мяча?
б) Чему равна работа силы тяжести при спуске мяча?
в) Чему равна работа силы тяжести за все время полета мяча?
г) Есть ли в условии лишние данные?

16. Шар массой 0,5 кг подвешен к пружине жесткостью 250 Н/м и находится в равновесии. Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
в) Чему равна работа силы упругости за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
г) Чему равна работа равнодействующей всех приложенных к шару сил за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?

17. Санки массой 10 кг съезжают без начальной скорости со снежной горы с углом наклона α = 30º и проезжают некоторое расстояние по горизонтальной поверхности (рис. 28.13). Коэффициент трения между санками и снегом 0,1. Длина основания горы l = 15 м.

а) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности?
б) Чему равна работа силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности на пути 20 м?
в) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горе?
г) Чему равна работа силы трения при спуске санок?
д) Чему равна работа силы тяжести при спуске санок?
е) Чему равна работа равнодействующей сил, действующих на санки, при их спуске с горы?

18. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 50 км/ч. Двигатель развивает мощность 10 кВт. Расход бензина составляет 8 л на 100 км. Плотность бензина 750 кг/м 3 , а его удельная теплота сгорания 45 МДж/кг. Чему равен КПД двигателя? Есть ли в условии лишние данные?
Подсказка. КПД теплового двигателя равен отношению совершенной двигателем работы к количеству теплоты, которое выделилось при сгорании топлива.

Лошадь тянет телегу с некоторой силой, обозначим её F тяги. Дедушка, сидящий на телеге, давит на неё с некоторой силой. Обозначим её F давл. Телега движется вдоль направления силы тяги лошади (вправо), а в направлении силы давления дедушки (вниз) телега не перемещается. Поэтому в физике говорят, что F тяги совершает работу над телегой, а F давл не совершает работу над телегой.

Итак, работа силы над телом или механическая работа – физическая величина, модуль которой равен произведению силы на путь, пройденный телом вдоль направления действия этой сил ы:

В честь английского учёного Д.Джоуля единица механической работы получила название 1 джоуль (согласно формуле, 1 Дж = 1 Н·м).

Если на рассматриваемое тело действует некоторая сила, значит, на него действует некоторое тело. Поэтому работа силы над телом и работа тела над телом – полные синонимы. Однако, работа первого тела над вторым и работа второго тела над первым – частичные синонимы, поскольку модули этих работ всегда равны, а их знаки всегда противоположны. Именно поэтому в формуле присутствует знак «±». Обсудим знаки работы более подробно.

Числовые значения силы и пути – всегда неотрицательные величины. В отличие от них механическая работа может иметь как положительный, так и отрицательный знаки. Если направление силы совпадает с направлением движения тела, то работу силы считают положительной. Если направление силы противоположно направлению движения тела, работу силы считают отрицательной (берём «–» из «±» формулы). Если направление движения тела перпендикулярно направлению действия силы, то такая сила работу не совершает, то есть A = 0.

Рассмотрите три иллюстрации по трём аспектам механической работы.

Совершение силой работы может выглядеть по-разному с точек зрения различных наблюдателей. Рассмотрим пример: девочка едет в лифте вверх. Совершает ли она механическую работу? Девочка может совершать работу только над теми телами, на которые действует силой. Такое тело лишь одно – кабина лифта, так как девочка давит на её пол своим весом. Теперь надо выяснить, проходит ли кабина некоторый путь. Рассмотрим два варианта: с неподвижным и движущимся наблюдателем.

Пусть сначала мальчик-наблюдатель сидит на земле. По отношению к нему кабина лифта движется вверх и проходит некоторый путь. Вес девочки направлен в противоположную сторону – вниз, следовательно, девочка совершает над кабиной отрицательную механическую работу: A дев < 0. Вообразим, что мальчик-наблюдатель пересел внутрь кабины движущегося лифта. Как и ранее, вес девочки действует на пол кабины. Но теперь по отношению к такому наблюдателю кабина лифта не движется. Поэтому с точки зрения наблюдателя в кабине лифта девочка не совершает механическую работу: A дев = 0.

Каждое тело, совершающее движение, можно охарактеризовать работой. Иными словами, она характеризует действие сил.

Работа определяется как:
Произведение модуля силы и пути пройденного телом, умноженное на косинус угла между направлением силы и движения.

Работа измеряется в Джоулях:
1 [Дж] = = [кг* м2/c2]

К примеру, тело A под действием силы в 5 Н, прошло 10 м. Определить работу совершенную телом.

Так как направление движения и действия силы совпадают, то угол между вектором силы и вектором перемещения будет равен 0°. Формула упроститься, потому что косинус угла в 0° равен 1.

Подставляя исходные параметры в формулу, находим:
A= 15 Дж.

Рассмотрим другой пример, тело массой 2 кг, двигаясь с ускорением 6 м/ с2, прошло 10 м. Определить работу проделанную телом, если оно двигалось по наклоненной плоскости вверх под углом 60°.

Для начала, вычислим какую силу нужно приложить, что бы сообщить телу ускорение 6 м/ с2.

F = 2 кг * 6 м/ с2 = 12 H.
Под действием силы 12H, тело прошло 10 м. Работу можно вычислить по уже известной формуле:

Где, а равно 30°. Подставляя исходные данные в формулу получаем:
A= 103, 2 Дж.

Мощность

Множество машин механизмов выполняют одну и ту же работу за различный промежуток времени. Для их сравнения вводится понятие мощности.
Мощность – это величина, показывающая объем работы выполненный за единицу времени.

Мощность измеряется в Ватт, в честь Шотландского инженера Джеймса Ватта.
1 [Ватт] = 1 [Дж/c].

К примеру, большой кран поднял груз весом 10 т на высоту 30 м за 1 мин. Маленький кран на эту же высоту за 1 мин поднял 2 т кирпича. Сравнить мощности кранов.
Определим работу выполняемую кранами. Груз поднимается на 30м, при этом преодолевая силу тяжести, поэтому сила, затрачиваемая на поднятие груза, будет равна силе взаимодействия Земли и груза(F = m * g). А работа – произведению сил на расстояние пройденное грузами, то есть на высоту.

Для большого крана A1 = 10 000 кг * 30 м * 10 м / с2 = 3 000 000 Дж, а для маленького A2 = 2 000 кг * 30 м * 10 м / с2 = 600 000 Дж.
Мощность можно вычислить, разделив работу на время. Оба крана подняли груз за 1 мин (60 сек).

Отсюда:
N1 = 3 000 000 Дж/60 c = 50 000 Вт = 50 кВт.
N2 = 600 000 Дж/ 60 c = 10 000 Вт = 10 к Вт.
Из выше приведенных данных наглядно видно, что первый кран в 5 раз мощнее второго.

1.5. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Понятие энергии. Механическая энергия. Работа - количественная мера изменения энергии. Работа равнодействующей сил. Работа сил в механике. Понятие мощности. Кинетическая энергия как мера механического движения. Связь изменения ки нетической энергии с работой внутренних и внешних сил. Кинетическая энергия системы в различных системах отсчета. Теорема Кенига.

Энергия - это универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Механи́ческая эне́ргия описывает сумму потенциальной и кинетической энергии , имеющихся в компонентах механической системы . Механическая энергия - это энергия, связанная с движением объекта или его положением, способность совершать механическую работу.

Работа силы - это количественная характеристика процесса обмена энергией между взаимодействующими телами.

Пусть частица под действием силы совершает перемещение по некоторой траектории 1-2 (рис. 5.1). В общем случае сила в процессе

движения частицы может изменяться как по модулю, так и по направлению. Рассмотрим, как показано на рис.5.1, элементарное перемещение , в пределах которого силу можно считать постоянной.

Действие силы на перемещении характеризуют величиной, равной скалярному произведению , которую называют элементарной работой силы на перемещении . Ее можно представить и в другом виде:

,

где - угол между векторами и - элементарный путь, проекция вектора на векторобозначена (рис. 5.1).

Итак, элементарная работа силы на перемещении

Величина - алгебраическая: в зависимости от угла между векторами силы и или от знака проекции вектора силы на вектор перемещения она может быть как положительной, так и отрицательной и, в частности, равной нулю, если т.е. . Единицей измерения работы в вивтеме СИ служит Джоуль, сокращенное обозначение Дж.

Суммируя (интегрируя) выражение (5.1) по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы на данном перемещении:

видно, что элементарная работа A численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути от точки 1 до точки 2 - площади фигуры, ограниченной кривой, ординатами 1 и 2 и осью s. При этом площадь фигуры над осью s берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе), а площадь фигуры под осью s - со знаком минус (она соответствует отрицательной работе).

Рассмотрим примеры на вычисление работы. Работа упругой силы где - радиус-вектор частицы А относительно точки О (рис. 5.3).

Переместим частицу A, на которую действует эта сила, по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала элементарную работу силы на элементарном перемещении :

.

Скалярное произведение где проекция вектора перемещения на вектор . Эта проекция равна приращению модуля вектора Поэтому и

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, т. е. проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2:

Вычислим работу гравитационной (или аналогичной ей математически силы кулоновской) силы. Пусть в начале вектора (рис. 5.3) находится неподвижная точечная масса (точечный заряд). Определим работу гравитационной (кулоновской) силы при перемещении частицы А из точки 1 в точку 2 по произвольному пути. Сила, действующая на частицу А, может быть представлена так:

где параметр для гравитационного взаимодействия равен , а для кулоновского взаимодействия его значение равно . Вычислим сначала элементарную работу этой силы на перемещении

Как и в предыдущем случае, скалярное произведение поэтому

.

Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Рассмотрим теперь работу однородной силы тяжести . Запишем эту силу в виде где орт вертикальной оси z с положительным направлением обозначен (рис.5.4). Элементарная работа силы тяжести на перемещении

Скалярное произведение гдепроекция на орт равная - приращению координаты z. Поэтому выражение для работы приобретает вид

Работа же данной силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Рассмотренные силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из формул (5.3) - (5.5), не зависит от формы пути между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Эта весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы пути между ними.

До сих пор речь шла о работе одной силы. Если же на частицу в процессе движения действуют несколько сил, результирующая которых то нетрудно показать, что работа результирующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности на том же перемещении. Действительно,

Введем в рассмотрение новую величину - мощность. Она используется для характеристики скорости, с которой совершается работа. Мощность , по определению, - это работа, совершаемая силой за единицу времени . Если за промежуток времени сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени, есть Учитывая, что , получим

Единица мощности в системе СИ - Ватт, сокращенное обозначение Вт.

Таким образом, мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность - величина алгебраическая.

Зная мощность силы , можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное выражение в (5.2) в виде получим

Следует также обратить внимание на одно весьма существенное обстоятельство. Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеется в виду. В ином случае, как правило, неизбежны недоразумения.

Рассмотрим понятие кинетической энергии частицы . Пусть частица массы т движется под действием некоторой силы (в общем случае эта сила может быть результирующей нескольких сил). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении . Имея в виду, что и , запишем

.

Скалярное произведение где проекция вектора на направление вектора . Эта проекция равна - приращению модуля вектора скорости. Поэтому и элементарная работа

Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой величины стоящей в скобках, которую называют кинетической энергией частицы.

а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2

т. е. приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил , действующих на частицу на том же перемещении. Если то т. е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же то то есть кинетическая энергия уменьшается.

Уравнение (5.9) можно представить и в другой форме, поделив обе части его на соответствующий промежуток времени dt:

Это значит, что производная кинетической энергии частицы по времени равна мощности N результирующей силы, действующей на частицу.

Теперь введем понятие кинетической энергии системы . Рассмотрим в некоторой системе отсчета произвольную систему частиц. Пусть частица системы имеет в данный момент кинетическую энергию . Приращение кинетической энергии каждой частицы равно, согласно (5.9), работе всех сил, действующих на эту частицу: Найдем элементарную работу, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы:

где - суммарная кинетическая энергия системы. Заметим, что кинетическая энергия системы - величина аддитивная : она равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Итак, приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы . При элементарном перемещении всех частиц

а при конечном перемещении

т. е. производная кинетической энергии системы по времени равна суммарной мощности всех сил, действующих на все частицы системы ,

Теорема Кенига: кинетическую энергию K системы частиц можно представить как сумму двух слагаемых: а) кинетической энергии mV c 2 /2 воображаемой материальной точки, масса которой равна массе всей системы, а скорость совпадает со скоростью центра масс; б) кинетической энергии K отн системы частиц, вычисленной в системе центра масс.