Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Дробные уравнения. ОДЗ.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же.

Дробные уравнения.

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например:

Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения.

Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?

В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем:

Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу:

В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:

А это уравнение уже решит всякий! х = 2 .

Решим ещё один пример, чуть посложнее:

Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать:

И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:

Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

А вот теперь уже раскрываем скобки:

Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для начала научимся находить область определения суммы функций . Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Если функция f - это сумма n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x) , то областью определения функции f является пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Запишем это как .

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать , записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Пример.

Дана функция y=x 7 +x+5+tgx , и надо найти ее область определения.

Решение.

Функция f представлена суммой четырех функций: f 1 - степенной функции с показателем 7 , f 2 - степенной функции с показателем 1 , f 3 - постоянной функции и f 4 - функции тангенс.

Взглянув в таблицу областей определения основных элементарных функций, находим, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , а областью определения тангенса является множество всех действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции f – это пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , f 3 и f 4 . Достаточно очевидно, что это есть множество всех действительных чисел, за исключением чисел .

Ответ:

множество всех действительных чисел, кроме .

Переходим к нахождению области определения произведения функций . Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Если функция f - это произведение n функций f 1 , f 2 , …, f n , то есть, функция f задается формулой y=f 1 (x)·f 2 (x)·…·f n (x) , то область определения функции f есть пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , …, f n . Итак, .

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f .

Пример.

Y=3·arctgx·lnx .

Решение.

Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f 1 (x)·f 2 (x)·f 3 (x) , где f 1 – это постоянная функция, f 2 – это функция арктангенс, а f 3 – логарифмическая функция с основанием e .

Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) и D(f 3)=(0, +∞) . Тогда .

Ответ:

областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.

Отдельно остановимся на нахождении области определения функции, заданной формулой y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число. Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f совпадают. Действительно, функция y=C·f(x) – это произведение постоянной функции и функции f . Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f есть D(f) . Тогда область определения функции y=C·f(x) есть , что и требовалось показать.

Итак, области определения функций y=f(x) и y=C·f(x) , где С – некоторое действительное число, совпадают. Например, область определения корня есть , становится ясно, что D(f) - это множество всех x из области определения функции f 2 , для которых f 2 (x) входит в область определения функции f 1 .

Таким образом, область определения сложной функции y=f 1 (f 2 (x)) - это пересечение двух множеств: множества всех таких x , что x∈D(f 2) , и множества всех таких x , для которых f 2 (x)∈D(f 1) . То есть, в принятых нами обозначениях (это по сути система неравенств).

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать , так как это выходит за рамки этой статьи.

Пример.

Найти область определения функции y=lnx 2 .

Решение.

Исходную функцию можно представить в виде y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – логарифм с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Обратившись к известным областям определения основных элементарных функций, имеем D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=(−∞, +∞) .

Тогда

Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Ответ:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Пример.

Какова область определения функции ?

Решение.

Данная функция сложная, ее можно рассматривать как y=f 1 (f 2 (x)) , где f 1 – степенная функция с показателем , а f 2 – функция арксинус, и нам нужно найти ее область определения.

Посмотрим, что нам известно: D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=[−1, 1] . Остается найти пересечение множеств таких значений x , что x∈D(f 2) и f 2 (x)∈D(f 1) :

Чтобы arcsinx>0 вспомним свойства функции арксинус . Арксинус возрастает на всей области определения [−1, 1] и обращается в ноль при x=0 , следовательно, arcsinx>0 для любого x из промежутка (0, 1] .

Вернемся к системе:

Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал (0, 1] .

Ответ:

(0, 1] .

Теперь давайте перейдем к сложным функциям общего вида y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Область определения функции f в этом случае находится как .

Пример.

Найти область определения функции .

Решение.

Заданную сложную функцию можно расписать как y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) , где f 1 – sin , f 2 – функция корень четвертой степени, f 3 – lg .

Нам известно, что D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=\)