В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t 1) и N(t 2).

На графике видно, что t 1 - это длина АМ, а t 2 - это длина AN. По-другому можно сказать, что t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4- это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 - это число (длина дуги АМ), косинус которого равен - ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t , следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда - а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.

Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.

Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и - π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это - π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Арккосинус. Решение уравнения cost = a

Рассмотрим решение уравнения cost = .

Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой

На числовой окружности отметим точки М(t 1), N(t 2) - точки пересечения прямой х= с этой окружностью.

t 1 - это длина дуги АМ, t 2 - это длина дуги АN, t 2 = - t 1.

Когда математики впервые встретились с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos

arccos (арккосинус одной четвертой).

Тогда t 1 = arccos; t 2 = - arccos

И тогда корни уравнения cost = можно записать двумя формулами:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.

Что значит arccos ?

Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку .

Теперь рассмотрим уравнение

cost = - . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем

t = arccos) + 2πk.

Как понимать arccos(-)? Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].

Дадим определение арккосинусу:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а | 1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.(рис.1)

ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.(арккосинус корень из трех на два)

Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos соответствует

(Показать таблицу значений) Значит, t = (пи на шесть), так как cos = и . Значит, arсcos = .

arcos - это длина дуги, но длина дуги окружности это - t в определении cost

(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π- вся окружность равна 360°, π- половина окружности =180°, ==60°)

ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos(- (арккосинус минус корень из трех на два).

Решение. Пусть arсcos(-) = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t = (пять пи на шесть), так как cos = - и [; ]. Итак, arсcos) = .

Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого а [; ](а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(-а) = π(сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).

Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда - а 0. На числовой окружности отметим arcos а (это длина дуги АК) и

arccos(-а) (это длина дуги АТ) (смотри рис. 2)

Из доказанной теоремы следует: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0 а 1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).

Когда а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.

Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = - .

Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-)+ 2πk.

Вычислим значения арккосинуса: arccos(-) = π - arсcos = π - = .

(Согласно соотношению arccos(-) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-) =) .

Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-)+ 2πk и получим значение t: t = + 2πk.

ПРИМЕР 4.Решить неравенство cost .

Решение. Мы знаем, что cost - это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и N.

Неравенству х соответствуют точки открытой дуги МN. Точке М соответствует, а точке N -

- (минус пи на четыре).

Значит, ядром аналитической записи дуги МN является неравенство

T , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ЯМАЛО-НЕНЕЦКИЙ АВТОНОМНЫЙ ОКРУГ

ДЕПОРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА НОЯБРЬСКА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОД НОЯБРЬСК»

Методическая разработка

урока алгебры(10 класс)

Тема: «Арккосинус числа а.

Решение уравнений cos x = a»

Учитель математики,

г.Ноябрьск

2009 г Урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема урока: Арккосинус числа а. Решение уравнений cos x = a.

Цели урока:

1. Обучающие:

а) ввести понятие арккосинуса числа а;

б) выработать навык вычисления арксинуса числа а;

в) вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a;

г) научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений;

д) изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, -1, 1.

1. Развивающие:

а) развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения ;

б) развивать способность аргументировать свои утверждения;

в) развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

3.Воспитательные:

а) обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе,

б) воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки;

в) воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.

Запись на доске :

Каждый ученик имеет право:

• Знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.

Ход урока:

1. Организационный момент (2 мин)

Учитель: Здравствуйте ребята.

Сегодня на уроке мы будем учиться (Слайд 1)

а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

б) аргументировать утверждения;

в) сравнивать, анализировать и делать выводы;

г) оценивать результаты своей учебной деятельности.

Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право:

• Высказывать свое мнение и быть услышанным;
• Самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;
• Знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы (запись на доске)

2.Актуализация знаний (3-4 мин)

Устный счет (задания проецируются на интерактивный экран (Слайд 2 )

Учитель	Ученик
Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти?	Точки единичной окружности , , принадлежат 1четверти?
Косинус какого угла есть величина положительная? Вывод: Косинус острого угла есть величина положительная.	Если угол принадлежит 1 четверти

2. Вычислить значения: cos ; cos ; cos

Учитель	Ученик
Точки единичной окружности , , принадлежат какой четверти?	Точки единичной окружности , , принадлежат 2 четверти.
Косинус какого угла есть величина отрицательная? Вывод: Косинус тупого угла величина отрицательная	Если угол принадлежит 2 четверти

2.Косинус какого угла равен ; 0; ; 1; ; - ; - , если ?

3. Проверка домашней работы (3-4мин) (3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений с помощью единичной окружности)

1 ученик

t = +2πk , где k Z (объяснение ведется по единичной окружности)

Ответ: t = +2πk , где k Z .

2 ученик

• cos t = 1,5,

Не имеет решения т.к. -1≤а≤1

Ответ: нет решений .

• cos t = 1,

T = 2πk, где k Z.

Ответ:t = 2πk, где k Z.

3 ученик

• cos t = 0,

t = + πk, k ;

Ответ: t = + πk, k ;

• cos t = -1,

t = π + 2πk, k .

Ответ: t = π + 2πk, k .

4.Изучение нового материала (13-15 мин)

Учитель	Ученик
Теперь решим уравнение cos t = .	на доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают (пример и единичная окружность записаны заранее) Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности. t = t 1 +2πk, t = t 2 +2πk, где k Z, т.к. t 1= - t 2, то t = ± t 1 +2πk, где k Z,
Является ли эта запись ответом решения уравнения?	Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1.

Учитель: Что это за число t 1 , пока неизвестно, ясно только то, что t 1 . Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arcсos а , который читается: арккосинус а .

Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а. Решение уравнений cos t = a» (Слайд 3,4)

Учитель	Ученик
Значит, вычисляя арккосинус числа а, какой нужно себе задать вопрос?	Косинус какого числа равен а?
Применяя изученное определение, найдите значение выражения arccos (); arcсos() arcсos() (Слайд 5)	arccos () = arcсos() = arcсos() =
Все значения а принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а?	Значения arccosа принадлежат отрезку от 0 до
А как же вычислить значение arccos(–а)? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arccos(–а ) (читаем и выделяем формулу). (Слайд 6) Вычислить: arccos (- ); arcсos(- ); arcсos(- ); (Слайд 6)	arccos (- )= arсcos(- ) = arсcos(- ) =
Все значения (-а) принадлежат отрезку от -1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos(–а ) ? Запишите справочный материал (слайд 6)	Значения arcсos(-а) принадлежат отрезку от до π Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления (фронтальная работа с классом)

Вычисляем по слайду на интерактивной доске

Задание

Найти значение выражения: (Слайд 7) а) arccos ()- arccos (- )+ + arcos1

б) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (- ) (Слайд 8)

5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой) (Слайд 9)

2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку

Учитель	Ученик
Вернемся к уравнению cos t = . которое решала…. Зная понятия арккосинуса, теперь мы можем записать ответ решения этого уравнения следующим образом. cos t = . t = ±arccos + 2πk , где k Z . Ответ: t = ±arccos + 2πk , где k Z Мы решили уравнение двумя способами: с помощью единичной окружности и с помощью формулы.	Записывают в тетради решение за учителем
Итак, запишем справочный материал и выделим его решением уравнения (Слайд 10) cos t = a, где а . t = ± arcсos а + 2πk, k . Ответ: t = ± arcсos а + 2πk, k .	Записывают в тетради модель решения уравнения за учителем

6. Закрепление изученного материала (13мин)

№ 15.5 (б,г), 15.6 (а, б).

(2 ученика работают индивидуально у доски)

1 уч.: а) cos t = ; б) cos t = - ;

2 уч: а) cos t = ; б) cos t = . (обратить внимание на этот пример, выполняя оценку числа )

Решите уравнение:

№15.5(б,г)

б) cos t = .

г) cos t = ;

15.6 (а,б)

а) cos t = 1; (обратить внимание на ответ и выделить частные случаи)

б) cos t = -

7. Подведение итогов урока (рефлексия ).(3-4мин)

(устная фронтальная работа с классом)

Учитель	Ученик
Какие новые понятия вы изучили на уроке?	Мы узнали новое понятие арккосинус а.
Какой новый способ решения простейших тригонометрических уравнений мы рассмотрели на уроке?	С помощью формул
Еще раз внимательно просмотрите записанный нами справочный материал. Закройте тетради, возьмите тест на партах, каждый свой вариант и заполните пропуски. На эту работу у вас есть 3 минуты (взаимопроверка) (после 3- минут работы учащиеся меняются листочками и проверяют правильность, ответы проецируются на интерактивную доску) (черным шрифтом выделены пропущенные места теста)	Выполняют тест (Слайд 11)
Сейчас вы определили пробелы в своих знаниях, и прошу дома на это обратить внимание.

8.Домашнее задание (дифференцированное) (1мин) (Слайд 12)

Учител: Мы изучили учебный материал обязательного уровня и решали задания уровня В тестирования в формате ЕГЭ, в то же время вам предложено решить тригонометрические уравнения, приводимые к простейшим

§16, №15.3, 15.4,15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12

Предварительный просмотр:

Вычислить: а rc с os - arc с os + + а rc с os 1 =

Вычислить: 2) 2 а rc с os 0 + 3 arc с os 1 - arc с os =

Самостоятельная работа № 15.1(а,б,в), 15.2(в,г)

cos t = a , где а ϵ [-1;1] t = ± arc с os а + 2 π k, k ϵ Z Ответ: ± arc с os а + 2π k , k ϵ Z № 15.5(б), 15.6(б), 15.5(г), 15.6(а)

1 вариант 2 вариант Если а ϵ [-1;1], то arc с os а – такое число из отрезка [ 0; π ] , косинус которого равен а. если в ϵ [-1;0], то arc с os в ϵ если а ¢ [-1;1], то уравнение cos t = а решений не имеет если cos t = 1, то t = 2π k , k ϵ Z ; если а ϵ , то ar с cos а ϵ если а ϵ , то ar с cos (-а)= π- ar с cos а если cos t = 0, то t = + π k , k ϵ Z ; если а ϵ [-1;1], то уравнение cos t = а имеет решения t = ± arc с os а + 2π k , k ϵ Z

Домашнее задание §16, №15.3, 15.4, 15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12

спасибо за урок

Если | а | 1, то уравнение cos t = а не имеет действительных корней

Частные случаи если cos t = 1 , то t = 2 π k , k ϵ Z если cos t = -1 , то t = π + 2 π k , k ϵ Z если cos t = 0 , то t = + π k , k ϵ Z

Тип урока: постановка учебной задачи.

Цели урока:

Образовательная : систематизировать знания обучающихся о методах решения простейших тригонометрических уравнений, закрепить навыки работы с окружностью и таблицей.

Развивающая : продолжить работу над формированием творческих интеллектуальных способностей обучающихся через использование разнообразных приёмов решения тригонометрических уравнений.

Воспитательная : развить навыки коллективной умственной деятельности, взаимной поддержки и принятия точки зрения, отличной от собственной.

Ход урока

1. Ситуация успеха.

Решить уравнение: cosx=1; cosx=0; cosx= -1.

2. Ситуация, разрыва” между знанием и незнанием.

Решить уравнение: cosx=½; cosx=a.

Обсуждение.

3. Постановка учебной задачи.

Как решить уравнение данного вида?

1) Чему равна абсцисса точки единичной окружности полученная поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол равный: ?

2). Чему равен: ?

Ответ:

3).Чему равно: .

Ответ:

;

;

(1) .

Слова учителя: математики назвали слова, обратно cos “ словом арккосинус (arccos). Арккосинусом числа называется такое число , косинус которого равен a:
arccosa=α,если cosα=a и 0≤α≤π.

4). Записать равенство (1) с использованием символа arccos .

5). Решить уравнения: cosx=½, cosx=α.

Ответ: x=arccos½, x=arccosa.

6). Назвать углы поворота точки (1;0) единичной окружности имеющие абсциссу равную ½.

Ответ: абсцисса равна ½ при повороте точки на угол равный π/3 и -π/3.

т.е cosx=½ при x=±arccos½
cosx=a при x=±arccosa.

7). Чему равны абсциссы точек полученных поворотом точки (1;0) на углы: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

Ответ: абсцисса равна ½, и cosx=½ при x=±arccos½+2πn,.
cosx=a при x=±arccosa+2πn,.

8). Вывод: уравнение cosx=a

1) имеет корни, если ≤1,
2) не имеет корней, если >1.

9). Итог урока:

a) При каких значениях а и α имеет смысл равенство arccosа=α?
б) Что называется арккосинусом числа а?
в) При каких значениях а уравнение cosx=а имеет корни?
г) Формула нахождения корней уравнения cosx=а.

Разработчик материала:

Матвеева Мария Викторовна

учитель математики

ГБОУ ШИ «Олимпийский резерв»

Программированный урок для 10 класса по теме:

Понятие арккосинуса. Уравнение вида с os х = а .

Как и при решении обычных уравнений, решение тригонометрических уравнений сводится к умению решать простейшие уравнения.

Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестное стоит под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: с os х = а, sinх = а, tgх = а.

Каждое из них имеет свою формулу для решения. Единственное, что нужно четко запомнить - это, то, что при их решении получается бесконечно много корней .

Но можно и узнать конкретные решения.

Для того чтобы научится решать первое простейшее тригонометрическое уравнение, нужно познакомиться с таким понятием, как арккосинус числа.

Следует отметить, что число , для которого рассматривается арккосинус, принадлежит промежутку [-1; 1].

Определение: Арккосинусом числа а [-1; 1] (обозначается arccos a ) называется такое число α , косинус которого равен а. То есть cos ( arccos a ) = а.

Например, arccos (-1) = π; так как cos π= -1

arccos = , так как cos =

Таким образом, арккосинус есть обратная функция к косинусу .

Выпиши в теоретическую тетрадь: определение и примеры.

На самом деле, найти значение arccos можно легко воспользовавшись до боли нам знакомой таблицей значений тригонометрических функций.

При нахождении arccos необходимо задавать себе такой вопрос, при каком значении cos равен ? И смотреть в таблицу. Ответ: «при 45° или в радианной мере ».

Следует запомнить, что значение арккосинуса принято записывать только в радианной мере . Поэтому следует запомнить соответствие градусной и радианной меры углов.

Если число, от которого необходимо найти арккосинус отрицательное, то чтобы его найти необходимо, воспользоваться формулой:

arccos (-а) = π - arccos а.

Например, arccos ( = π = .

arccos ( = π = .

Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и примеры.

Реши задания по учебнику с. 168 № 568 – 570.

Решение тригонометрического уравнения вида cos х = а сводится к использованию формулы:

х = ±

Эту формулу можно проиллюстрировать на рисунке 68 стр. 165 по учебнику. Откройте учебник.

На чертеже видно, что на оси косинусов отмечена точка . Прямая проведенная вертикально через эту точку, показывает, что косинус для значений I и VI четвертей совпадает.

Но как мы можем получить эти углы, когда будем поворачивать точку? Да именно в I четверти на «+» угол, а в VI четверти на «-». Отсюда и получается знак « ±». То есть со s и cos совпадают.

Выпиши в теоретическую тетрадь: формулу и рисунок из учебника с пояснениями.

Разберем решение тригонометрического уравнения на примере: со s х = х = ± (посмотреть значение по таблице) х = ± Ответ: х = ± Выпиши в теоретическую тетрадь: решение уравнения с пояснениями.

Так как корней получается бесконечное количество, то в заданиях иногда просят найти конкретные значения корней, например принадлежащие промежутку , то есть I четверти или промежутку .

Эти задания очень часто встречаются в ЕГЭ. Их можно найти путем подстановки вместо n конкретных чисел (для помощи тебе выделено цветом ).

Например, рассмотрим решение нашего уравнения х = ± 1. Пусть n =0 . Тогда х = ± ± , то есть х 1 = + и х 2 = . Из этого видно, что получается 45° и - 45°. Из этих двух чисел, только одно принадлежит промежутку , то есть I четверти. Только число + . 2. Пусть n =1 . Тогда х = ± ± , то есть х 1 = + и х 2 = , х 1 = = и х 2 = =

Из этого видно, что получается х 1 = 405° и х 2 = 315°. Значит, ни одно из чисел не принадлежит I четверти, то есть промежутку . Поэтому в ответ их записать нельзя.

Выпиши в теоретическую тетрадь: способ нахождения конкретных корней (принадлежащих конкретному промежутку) тригонометрического уравнения. Например 1 , решите уравнение со s х = и найдите корни, принадлежащие промежутку [ ]. Первое, что необходимо сделать это просто решить уравнение по формуле и на время забыть про промежуток. со s х = х = ± (посмотреть значение по таблице) х = ± Второе , нужно определиться с четвертью, которой должны принадлежать корни. это промежуток от 90° до 180°. Значит, это II вторая четверть. Третье, нужно подставить конкретные значения n (для помощи тебе выделено цветом ).

Пусть n =0.

Тогда, х = ± = ± , то есть х 1 = и х 2 = . Если перевести в градусную меру, то х 1 принадлежит I четверти, а х 2 - IV четверти. А наша четверть II . Поэтому нужно подставить другое значение n . 2.Пусть n =1. Тогда, х = ± = ± , то есть х 1 = + и х 2 = , х 1 = = и х 2 = = х 1 = 420° и х 2 = 300° Ответ: х = ±
Например 2 , решите уравнение со s х = . со s х = х = ± (посмотреть значение по таблице, но в таблице нет таких значений, поэтому вычислить значение не предоставляется возможным). Ответ: х = ± Выпиши в теоретическую тетрадь: пример 2 с пояснениями. В случае если косинус равен отрицательному числу, необходимо использовать другую формулу при решении уравнения:

х = ± ± Реши задания по учебнику: с. 169 №571, 572. Не всегда уравнения бывают такими простыми, есть уравнения разной степени сложности. Например, 3 . Решите уравнение 2со s 3х = . со s 3х = ( необходимо разделить обе части уравнения на число, которое стоит перед косинусом) 3х = ± знак деления можно записать в виде дробной черты s х = ,5 со s х = ,5 Решить такое уравнение не представляется возможным, так как значение косинуса находится в промежутке [-1; 1]. Ответ: нет решений. Выпиши в теоретическую тетрадь: примеры с пояснениями. Реши задания по учебнику: с. 169 №573.

Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Тема урока: «Уравнение cos х = а».

Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков

Цели урока:

-образовательная

рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.

-воспитательная

воспитывать навыки культуры труда;

-развивающие

развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;

развивать логическое мышление;

вырабатывать умение классифицировать и обобщать;

развивать умение задавать вопросы.

Оборудование: интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация.

Задачи урока:

1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.

2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.

Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).

Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.

Ход урока :

Вызов

I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»

В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):

cos х = а.

П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):

1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;

2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;

3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;

4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (|а |≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?

В вопросы специально включены неверные формулировки.

Учащиеся работают в парах, заполняя графу (1) таблицы («+» - да; «‑» - нет). Затем без обсуждения на доске заполняется та же графа (1) таблицы «Верите ли Вы, что...?». Карточки с таблицей лежат на каждой парте.

Осмысление

III. «Продвинутая лекция».

Задание: учащиеся, сидящие на I варианте, следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.

a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.

Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней. Решим уравнение cos х = 3/2. (Ответ: корней нет).

б). Решим уравнение cos x = 1/2.

π /3 + 2 π k , k є Z.

-π /3 + 2 π k , k є Z.

Ответ: ± π/3 + 2 π k , k є Z .

Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .

Записывают: arccos 1/2 = π /3.

в) аналогично решим уравнения:

cos x = a , где |а|≤1:

arccos a

- arccos a

Ответ: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.

Напомним, что arccos (-a) = π - arccos a.

arccos (- а ) arccos (- а )

г). частные случаи:

1). cos x = 1 x = 2π k , k є Z .

2). cos x = -1 x = π + 2π k , k є Z .

3). cos x = 0 x = π/2 + π k , k є Z .

IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).

На работу дается 2 минуты, еще 5 минут ‑ на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.

Рефлексия

V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:

2). 3cos х/3 = 2

Самостоятельная работа учащихся:

1). 2cos 3x = -1,

2). 2cos (x + π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). сos 2x(2cos x + 2) = 0.

Результат выполнения самостоятельной работы проверяется.

Что я узнал нового;

Как изменились мои знания;

Что я буду с этим делать?

VI. Контрольный срез урока.

I в .: cos 2x=√2/2 II в .: cos (x/2)= √3/2.

VII. Домашнее задание
§ 33, №№ 571-573.

ЛИТЕРАТУРА

1). Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2013.

2). Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. М.И.Шабунин, М.В. Ткачёва, 2012.

3). Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 класса. А.П. Ершова, В.В. Голобородько – М.:ИЛЕКСА, 2011.

4). Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В. Денисов.– М.: Просвещение, 2011.

Интернет – ресурсоы:

Министерство образования РФ: http://www.ed.gov.ru/ ; http://www.edu.ru

Тестирование online: 5 - 11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo

Сеть творческих учителей: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com ,

Сайт Александра Ларина (подготовка к ЕГЭ): http://alexlarin.narod.ru/ege.html

Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main

Путеводитель «В мире науки» для школьников: http://www.uic.ssu.samara.ru

Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru

сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru

сайт для самообразования и он-лайн тестирования: http://uztest.ru/